Pytania pomocnicze do egzaminu z mechaniki kwantowej

1. Podstawowe własności liczb zespolonych
2. Własności iloczynu skalarnego w przestrzeniach Hilberta
3. Zapis wektora w bazie ortonormalnej; zmiana bazy; rozkład jedności związany z bazą
4. Prawdopodobieństwo w formalizmie kwantowym
5. Kwantowe zmienne losowe (reprezentacja przez zagadnienia własne operatorów hermitowskich; twierdzenie spektralne)
6. Operator ewolucji czasowej i hamiltonian jako jego generator; równanie Schroedingera dla operatora ewolucji
7. Pęd i położenie jako generatory transformacji unitarnych
8. Reprezentacja położeniowa i pędowa; fale płaskie; unormowanie do delty Diraca
9. Transformacja Fouriera na odcinku i prostej; tożsamość Plancherela;
10. Równanie Schroedingera w reprezentacji położeniowej – podstawowe własności (zachowanie energii i iloczynu skalarnego)
11. Równanie ciągłości dla prądu prawdopodobieństwa
12. Rozwiązanie równania Schroedingera przez separację zmiennych (t i x); kiedy można zastosować i jak wygląda rozwiązanie ogólne
13. Oscylator harmoniczny; pokazać nieujemność średniej energii
14. Operatory kreacji i anihilacji; algebra CCR; zapis w notacji bra-ket; pęd i położenie zapisane przy pomocy operatorów kreacji i anihilacji
15. Znaleźć stan podstawowy oscylatora i potrafić wygenerować unormowany stan wzbudzony
16. Pokazać ortogonalność dwóch różnych stanów wzbudzonych
17. Operator liczby wzbudzeń a hamiltonian oscylatora; widmo hamiltonianu i jego rozkład spektralny
18. Zagadnienie dwóch ciał; współrzędne R i r; masa zredukowana; iloczyn skalarny w przestrzeni konfiguracyjnej dwóch cząstek; zredukowane rozkłady prawdopodobieństwa dla jednej cząstki
19. Orbitalny moment pędu w reprezentacji położeniowej i pędowej; algebra so(3) i jej reprezentacje
20. Konstrukcja reprezentacji odpowiadającej orbitalnemu momentowi pędu we współrzędnych sferycznych; harmoniki sferyczne
21. Zasada nieoznaczoności